Directory:Jon Awbrey/Papers/Propositional Equation Reasoning Systems

Analysis of contingent propositions

For all of the reasons mentioned above, and for the sake of a more compact illustration of the in and outs of a typical propositional equation reasoning system (PERS), let's now take up a much simpler example of a contingent proposition:

o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` q o ` o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` p o ` o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `(p (q)) (p (r))` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

For the sake of simplicity in discussing this example, I will revert to the existential interpretation (Ex) of logical graphs and their corresponding parse strings.

Under Ex the expression "\((p\ (q))(p\ (r))\!\)" interprets as the vernacular expression "\(p\ \operatorname{implies}\ q\ \operatorname{and}\ p\ \operatorname{implies}\ r\)", in symbols, \(\{ p \Rightarrow q \} \land \{ p \Rightarrow r \},\) so this is the reading that we'll want to keep in mind for the present.

Where brevity is required, and it occasionally is, we may invoke the propositional expression "(p (q))(p (r))" under the name "f" by making use of the following definition: "f = (p (q))(p (r))".

Since the expression "(p (q))(p (r))" involves just three variables, it may be worth the trouble to draw a venn diagram of the situation. There are in fact a couple of different ways to execute the picture.

Figure 1 indicates the points of the universe of discourse X for which the proposition f : X → B has the value 1 (= true). In this paint by numbers style of picture, one simply paints over the cells of a generic template for the universe X, going according to some previously adopted convention, for instance: Let the cells that get the value 0 under f remain untinted, and let the cells that get the value 1 under f be painted or shaded. In doing this, it may be good to remind ourselves that the value of the picture as a whole is not in the paints, in other words, the 0, 1 in B, but in the pattern of regions that they indicate. NB. In this Ascii version, I use [```] for 0 and [^^^] for 1.

o-----------------------------------------------------------o
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^o-------------o^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ / ` ` ` ` ` ` ` \ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^/` ` ` ` ` ` ` ` `\^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^|` ` ` ` ` ` P ` ` ` ` ` `|^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ o--o----------o ` o----------o--o ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^/^ ^ \ ` ` ` ` `\`/` ` ` ` ` / ^ ^\^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ / ^ ^ ^\` ` ` ` ` o ` ` ` ` `/^ ^ ^ \ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^/^ ^ ^ ^ \ ` ` ` `/^\` ` ` ` / ^ ^ ^ ^\^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ / ^ ^ ^ ^ ^\` ` ` / ^ \ ` ` `/^ ^ ^ ^ ^ \ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^/^ ^ ^ ^ ^ ^ \ ` `/^ ^ ^\` ` / ^ ^ ^ ^ ^ ^\^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ o ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^o--o-------o--o^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ o ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ | ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ | ^ ^ ^ | ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ | ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ | ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ | ^ ^ ^ | ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ | ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ | ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ | ^ ^ ^ | ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ | ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ | ^ ^ ^ Q ^ ^ ^ ^ | ^ ^ ^ | ^ ^ ^ ^ R ^ ^ ^ | ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ | ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ | ^ ^ ^ | ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ | ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ o ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ o ^ ^ ^ o ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ o ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^\^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^\^ ^ ^/^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^/^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ \ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ \ ^ / ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ / ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^\^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^\^/^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^/^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ \ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ o ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ / ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^\^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^/^\^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^/^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ o-------------o ^ o-------------o ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
| ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |
o-----------------------------------------------------------o
Figure 1.  Venn Diagram for (p (q))(p (r))

There are a number of standard ways in mathematics and statistics for talking about "the subset W of the domain X that gets painted with the value z by the indicator function f : X → B". The subset W ⊆ X is called by a variety of names in different settings, for example, the antecedent, the fiber, the inverse image, the level set, or the pre-image in X of z under f. It is notated and defined as W = f^–1(z). Here, f^–1 is called the converse relation or the inverse relation — it is not in general an inverse function — corresponding to the function f. Whenever possible in simple examples, we use lower case letters for functions f : X → B, and its is sometimes useful to employ capital letters for subsets of X, if possible, in such a way that F is the fiber of 1 under f, in other words, F = f^–1(1).

The easiest way to see the sense of the venn diagram is to notice that the expression "(p (q))", read as "p ⇒ q", can also be read as "not p without q". Its assertion effectively excludes any tincture of truth from the region of P that lies outside the region Q.

Likewise for the expression "(p (r))", read as "p ⇒ r", and also readable as "not p without r". Asserting it effectively excludes any tincture of truth from the region of P that lies outside the region R.

Figure 2 shows the other standard way of drawing a venn diagram for such a proposition. In this punctured soap film style of picture — others may elect to give it the more dignified title of a logical quotient topology or some such thing — one goes on from the previous picture to collapse the fiber of 0 under X down to the point of vanishing utterly from the realm of active contemplation, thereby arriving at a degenre of picture like so:

o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` o-------------o ` o-------------o ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` `\`/` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` `/`\` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` / P \ ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` |
| ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` `/` ` `\` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` |
| ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` o-------o ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` |
| ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` |
| ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` |
| ` ` ` | ` ` ` ` Q ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` R ` ` ` ` | ` ` ` |
| ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` |
| ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` |
| ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` |
| ` ` ` `\` ` ` ` ` ` ` ` `\ ` ` /` ` ` ` ` ` ` ` `/` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` ` ` ` ` ` ` ` `\`/` ` ` ` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` ` ` `/`\` ` ` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` o-------------o ` o-------------o ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
Figure 2.  Venn Diagram for (p (q r))

This diagram indicates that the region where p is true is wholly contained in the region where both q and r are true. Since only the regions that are painted true in the previous figure show up at all in this one, it is no longer necessary to distinguish the fiber of 1 under f by means of any stipple.

In sum, it is immediately obvious from the venn diagram that in drawing a representation of the propositional expression:

(p (q))(p (r)),

in other words,

[p ⇒ q] ∧ [p ⇒ r],

we are also looking at a picture of:

(p (q r)),

in other words,

p ⇒ [q ∧ r].

Let us now examine the following propositional equation:

o-----------------------------------------------------------o
| Equation E_1` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` q r ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o` `o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `p o` `o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `p o` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` (p (q)) (p (r)) ` ` ` = ` ` ` ` `(p `(q r)) ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` [p=>q] & [p=>r] ` ` ` = ` ` ` ` `[p=>[q&r]] ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

There are three distinct ways that I can think of right off as to how we might go about formally proving or systematically checking the proposed equivalence, the evidence of whose truth we already have before us clearly enough, and in a visually intuitive form, from the venn diagrams that we examined above.

While we go through each of these ways let us keep one eye out for the character and the conduct of each type of proceeding as a semiotic process, that is, as an orbit, in this case discrete, through a locus of signs, in this case propositional expressions, and as it happens in this case, a sequence of transformations that perseveres in the denotative objective of each expression, that is, in the abstract proposition that it expresses, while it preserves the informed constraint on the universe of discourse that gives us one viable candidate for the informational content of each expression in the interpretive chain of sign metamorphoses.

A sign relation L is a subset of a cartesian product O × S × I, where O, S, I are sets known as the object, sign, and interpretant sign domains, respectively. One writes L ⊆ O × S × I, where the symbol "⊆" indicates the subset relation, contained as a subset of. Accordingly, a sign relation L consists of ordered triples of the form (o, s, i), where o, s, i belong to the domains O, S, I, respectively.

The syntactic domain of a sign relation L ⊆ O × S × I is just the set-theoretic union S ∪ I of its sign domain S and its interpretant domain I.

It is not uncommon, especially in formal examples, for the sign domain and the interpretant domain to be equal as sets, in short, to have S = I.

Elsewhere I have discussed examples of sign relations that consist of a finite set of triples of the form (o, s, i), where o, s, i are the object, sign, interpretant sign, respectively, of what is called the sign triple or the elementary sign relation (o, s, i).

We will be taking a bit of a jump up from the finite case now, since most of the examples of sign relations that interest us in logic will have S and I being infinite sets, and usually O will be infinite, too, in the long run, at least, although we will frequently work up to the infinite object domains by way of various series of finite approximations and gradual stages.

With that preamble behind us, let us turn to consider the case of semiosis, or sign transformation process, that is generated by our first proof of the propositional equation E₁.

o-----------------------------------------------------------o
| Equation E_1. `Proof 1. ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o` `o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `p o` `o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` (p (q)) (p (r)) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Double Negation >===========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o` `o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `p o` `o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` `(( (p (q)) (p (r)) ))` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Collection >================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o` `o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `p o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` `(p ( ((q)) ((r)) ))` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Double Negation >===========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` q r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `p o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `(p (q r))` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< QED >=======================o

For some reason I always think of this as the way that our DNA would prove it.

We are in the process of examining various proofs of the propositional equation "(p (q))(p (r)) = (p (q r))", and viewing these proofs in the light of their character as semiotic processes, in essence, as sign-theoretic transformations.

Here is a reminder of the equation in question:

o-----------------------------------------------------------o
| Equation E_1` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` q r ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o` `o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `p o` `o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `p o` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` (p (q)) (p (r)) ` ` ` = ` ` ` ` `(p `(q r)) ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` [p=>q] & [p=>r] ` ` ` = ` ` ` ` `[p=>[q&r]] ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

The second way of establishing the truth of this equation is one that I see, rather loosely, as model-theoretic, for no better reason than the sense of its ending with a pattern of expression, a variant of the disjunctive normal form (DNF), that is commonly recognized to be the form that one extracts from a truth table by pulling out the rows of the table that evaluate to true and constructing the disjunctive expression that sums up the senses of the corresponding interpretations.

In order to apply this model-theoretic method to an equation between a couple of contingent expressions, one must transform each expression into its associated DNF and then compare those to see if they are equal. In the current setting, these DNF's may indeed end up as identical expressions, but it is possible, also, for them to turn out slightly off-kilter from each other, and so the ultimate comparison may not be absolutely immediate. The explanation of this is that, for the sake of computational efficiency, it is useful to tailor the DNF that gets developed as the output of a DNF algorithm to the particular form of the propositional expression that is given as input.

o-----------------------------------------------------------o
| Equation E_1. `Proof 2, 1st Half. ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` q o ` o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` p o ` o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< CAST "p" >==================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` q ` r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o ` o r ` o o ` o o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` | ` ` `\| ` |/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o ` o ` ` ` o ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` p o-----------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\`/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Domination >================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o ` o r ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` | ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o ` o ` ` ` o ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` p o-----------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\`/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Cancellation >==============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o ` o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` p o-----------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\`/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< CAST "q" >==================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` o ` o r ` ` o ` o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` | ` | ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` o ` o ` ` ` o ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `\ /` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` q o-----------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\`/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Cancellation >==============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o r ` ` ` ` o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o ` ` ` o ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `/` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` q o-----------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\`/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Domination >================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `/` ` ` ` `\` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` q o-----------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\`/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< CAST "r" >==================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` o ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` | ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` o ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `/` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` r o-----------o---o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `\` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` / ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\`/` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o-------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Cancellation >==============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` r o-------o---o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` / ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\ /` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o-------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< DNF >=======================o

What we have harvested is the succulent equivalent of a disjunctive normal form (DNF) for the proposition with which we started. Remembering that a blank node is the graphical equivalent of a logical value true, we can read this brand of DNF in the following manner:

o-----------------------------------------------------------o
| DNF of "(p (q))(p (r))" ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` r o-------o---o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` / ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\ /` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o-------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Either not 'p' and thus 'true'` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` Or ` ` 'p' and thus ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `Either not 'q' and thus 'false'` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `Or ` ` 'q' and thus` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` Either not 'r' and thus 'false' ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` Or ` ` 'r' and thus 'true'. ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

Sorry, the half-time show was cancelled by the censors. But I'm guessing that the reader can probably finish off the second half of the proof with a few scribbles on paper faster than I can asciify it on my own, so at least there's that entertaiment to occupy the interval.

We are still in the middle of contemplating a particular example of a propositional equation, namely, "(p (q))(p (r)) = (p (q r))", and we are still considering the second of three formal methods that I intend to illustrate in the process of thrice-over establishing it.

o-----------------------------------------------------------o
| Equation E_1` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` q r ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o` `o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `p o` `o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `p o` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` (p (q)) (p (r)) ` ` ` = ` ` ` ` `(p `(q r)) ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` [p=>q] & [p=>r] ` ` ` = ` ` ` ` `[p=>[q&r]] ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

I know that it must seem tedious, but I probably ought to go ahead and carry out the second half of this analogically model-theoretic strategy, just so that we will have the security of this concrete and shared experience on which to fall back at every later point in whatmay quickly become a rather abstruse discussion. Here then is the rest of the necessary chain of equations:

o-----------------------------------------------------------o
| Equation E_1. `Proof 2, 2nd Half. ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `q r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` p o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< CAST "p" >==================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `q r` ` ` q r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` o o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` `\| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Domination >================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `q r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` `\` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Cancellation >==============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `q r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< CAST "q" >==================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o r ` ` o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o-------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Domination >================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o r ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o-------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Cancellation >==============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o-------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< CAST "r" >==================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` o ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` r o-------o---o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` / ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\ /` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o-------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< Cancellation >==============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` r o-------o---o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` / ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\ /` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` q o-------o---o q ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o=============================< DNF >=======================o

This is not only a logically equivalent DNF, but exactly the same DNF expression that we obtained before, so we have established the given equation "(p (q))(p (r)) = (p (q r))".

Incidentally, one may wish to note that this DNF expression quickly folds into the following form:

o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` pqr o-------o---o p ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` (p q r, (p))` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

This can be read to say "either p q r, or not p", which gives us yet another expression equivalent to the sentences "(p (q))(p (r))" and "(p (q r))".

Still another way of writing the same thing would be like so:

o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` p o-------o pqr ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ((p , p q r)) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

In other words, "p is equivalent to p and q and r".

Let's pause to refresh ourselves with a few morsels of lemmas bread. One lemma that I can see just far enough ahead to see our imminent need of is the principle that I canonize as the Emptiness Rule. It says that a bare lobe expression like "(… , …)", with any number of places for arguments but nothing but blanks as filler, is logically tantamount to the proto-typical expression of its type, namely, the constant expression "( )" that Ex interprets as denoting the logical value false. To depict the rule in graphical form, we have the continuing sequence of equations:

o-----------------------------------------------------------o
| Emptiness Rule` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` o ` ` ` ` o---o ` ` ` o-o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` | ` ` ` ` `\ /` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` @ ` ` = ` ` @ ` ` = ` ` @ ` ` = ` `...` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

Yet another rule that we'll need is the following:

o-----------------------------------------------------------o
| Indistinctness Rule ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` a ` a ` ` ` a a a ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` o ` ` ` ` o---o ` ` ` o-o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` | ` ` ` ` `\ /` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` @ ` ` = ` ` @ ` ` = ` ` @ ` ` = ` `...` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

This one is easy enough to derive from rules that are already known, but call it the Indistinctness Rule just on behalf of ready reference and employment.

Finally, let me introduce a rule-of-thumb that is a bit more suited to routine computation, and that will serve to replace the indistinctness rule in many of the cases where we actually have to call on it. This is actually just a special case of the evaluation rule listed above:

o-----------------------------------------------------------o
| Evaluation Rule ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` | `x_2` `... x_k` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` o---o-...-o---o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` x_2 ... x_k ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ((), x_2, ..., x_k) ` ` = ` ` ` ` x_2 ... x_k ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` `Setup` ` ` <---- | ----> ` ` `Spike` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

To continue with the beating of this still kicking horse that is known as the propositional equation "(p (q))(p (r)) = (p (q r))", let's now take up the third way that I mentioned for examining propositional equations, but I believe that you will be relieved to know that it is literally a third way only at the very outset, almost immediately breaking up according to whether one proceeds by way of the more "routine" model-theoretic path or else by way of the more "strategic" proof-theoretic path. I think that I'll take the low road today.

Let's convert the equation between propositions:

(p (q))(p (r)) = (p (q r)),

into the corresponding equational proposition:

(( (p (q))(p (r)) , (p (q r)) )).

If you're like me, you'd rather see it in pictures:

o-----------------------------------------------------------o
| Equation E_1, Written as an Equation in Cactus Language ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `q o` `o r` `q o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` `|` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `p o` `o p` `p o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o---------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `(( `(p (q))` (p (r)) ` , ` (p` (q r))` ))` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` [[p=>q] & [p=>r]] `<=>` [p=>[q&r]]` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o

We may now interrogate the alleged equation for the third time, working by way of the case analysis-synthesis theorem (CAST).

o-----------------------------------------------------------o
| Equation E_1. `Proof 3. ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-----------------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` q o ` o r ` q o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` p o ` o p ` p o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` o---------o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\ ` ` ` /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \` ` `/ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\ ` /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< CAST "p" >=============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q` `r` ` q r ` `q` `r` ` qr` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` `o o o o` `o o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `|` `|` ` `|` ` `|/ `|/ ` `|/ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` `|` ` ` \ / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o-------o` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `p o---------------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Domination >===========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q` `r` ` q r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `|` `|` ` `|` ` ` / ` / ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` `|` ` ` \ / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o-------o` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `p o---------------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Cancellation >=========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q` `r` ` q r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `|` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o-------o` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `p o---------------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Emptiness >============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q` `r` ` q r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `|` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o-------o` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `p o---------------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Cancellation >=========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q` `r` ` q r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `|` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `p o---------------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< CAST "q" >=============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `r` ` `r` ` `|` `r` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `o` `o` ` `o` ` `o` `o` ` `o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `|` `|` ` `|` ` `|` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `o` `o` ` `o` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` \ / ` ` `|` ` ` \ / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o-------o` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o---------------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Domination >===========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `r` ` `r` ` `|` `r` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `o` `o` ` `o` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `|` `|` ` `|` ` `|` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `o` `o` ` `o` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` \ / ` ` `|` ` ` \ / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o-------o` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o---------------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Cancellation >=========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `r` ` `r` ` ` ` `r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `|` ` `|` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` ` `o` ` `o` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` / ` ` `|` ` ` \ / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o-------o` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o---------------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Domination >===========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `r` ` `r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` ` `o` ` `o` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` / ` ` `|` ` ` \ ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o-------o` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o---------------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Spike >================o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `r` ` `r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o-------o` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o---------------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Cancellation >=========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `r` ` `r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `q o---------------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< CAST "r" >=============o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `o` ` `o` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `|` ` `|` ` ` ` `|` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `o` ` `o` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` / ` ` `|` ` ` ` / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` `o-------o` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` \ ` ` / ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `\` `/` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `r o---------------o---o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `q o-------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Cancellation >=========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` / ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` `o-------o` ` ` `o-------o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` \ ` ` / ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `\` `/` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `r o---------------o---o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `q o-------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Emptiness & Spike >====o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `r o---------------o---o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `q o-------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< Cancellation >=========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `r o-------o---o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `q o-------o---o q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `p o-------o---o p` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o==================================< QED >==================o

And that, of course, is the DNF of a theorem.